BAB.1 PROGRAM LINEAR
RINGKASAN MATERI
A.
Pengertian Program Linear
Program linear adalah suatu cara untuk
menyelesaikan persoalan tertentu berdasarkan kaidah matematika, dengan
menyelidiki model matematikanya (dalam bentuk sistem pertidaksamaan linear)
yang memiliki banyak penyelesaian.
B.
System pertidaksamaan
linear dengan Satu Variabel dan
Dua variabel
Contoh pertidaksamaan liear satu variabel dan
dua variabel adalah sebagai berikut:
1. x ≥ 0 5. 3x + 5y ≥15
2. y < 3 6. 8x + y > 16
3. –2 < x < 5 7. 2x + 3y ≤ 24
4. 0 ≤ y < 4 8. x + y < 5
C.
Menentukan
Himpunan Penyelesaian System
pertidaksamaan linear dengan Satu Variabel dan
Dua variabel
Himpunan penyelesaian dari suatu sistem
pertidaksamaan linear merupakan irisan dari himpunan penyelesaian masing-masing
pertidaksamaan linearnya.
Langkah-langkah
menetukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel:
1.
Gambarlah garis ax+by = c pada bidang cartesius, dengan cara:
mencari
titik potong dengan sumbu x, terjadi jika y= 0 dan titik potong dengan sumbu y,
terjadi jika x = 0, seperti terlihat pada tabel berikut:
|
ax + by = c
|
||
 |
 |
 |
 |
0
|
 |
 |
 |
 |
·
Garis lurus jika pertidaksamaannya berbentuk:
ax + by ≥ c atau ax + by ≤ c
·
Garis putus-putus jika pertidaksamaannya berbentuk: ax + by < c atau ax + by > c
2. Menentukan daerah/himpunan
penyelesaian pertidaksamaan linier dua variable
ambil sembarang titik P(x1,y1)
yang terletak di luar garis ax+by = c
kemudian substitusikan titik P(x1,y1)
ke dalam pertidaksamaan garis ax+by = c
Apabila pertidaksamaan benar, maka daerah
yang memuat titik P(x1,y1)
adalah himpunan penyelesaiannya. Jika pertidaksamaan salah, maka daerah lain
yang tidak memuat titik P(x1,y1)
adalah himpunan penyelesaiannnya.
3. Tetapkan daerah
yang bukan merupakan himpunan penyelesaian diberi arsiran, sehingga daerah
himpunan penyelesaian merupakan daerah tanpa arsiran.
Hal ini sangat
membantu pada saat menentukan daerah yang memenuhi terhadap beberapa
pertidaksamaan
Contoh:
1. Tentukan daerah himpunan penyelesaian
dari pertidaksamaan 2x + 3y < 18 unutk x,y ε R.
Jawab:
Himpunan penyelesaian
pertidaksamaan 2x + 3y < 18 dapat mengikuti langkah
berikut:
a. Gambarlah grafik lurus 2x + 3y
= 18
· titik potong garis dengan sumbu x maka y = 0
2x + 3y = 18 ⇔ 2x +
3(0) =18
⇔ 2x + 0 =18
⇔ x = 9
Jadi
diperoleh titik (9,0)
· titik potong garis dengan sumbu y maka x = 0
2x + 3y = 18 ⇔ 2(0) + 3y =18
⇔ 0 + 3y =18
⇔ y = 6
Jadi diperoleh titik (0,6)
· Menggunakan tabel:
|
2x + 3y < 18
|
||
|
X
|
9
|
0
|
|
Y
|
0
|
6
|
|
(x, y)
|
(9, 0)
|
(0, 6)
|
Garis 2x + 3y
= 18 melalui titik (0,6)
dan (9,0). Garis ini membagi bidang koordinat menjadi dua bagian seperti
terlihat pada gambar dibawah ini.
|
b. Ambil sembarang titik
yang tidak dilalui oleh garis
2x + 3y < 18, misal (0,0)
Substitusikan titik (0,0)
kedalam petidaksamaan 2x + 3y < 18.
(0,0) ⇔ 2x + 3y < 18
⇔ 2(0) + 3 (0) < 18
⇔ 0 < 18
(pernyataan benar)
c. Karena pernyataan benar,
maka daerah yang memuat titik (0,0) adalah himpunan penyelesaiannya.
Jadi daerah penyelesaian
pertidaksamaan 2x + 3y < 18 adalah
daerah yang tidak terarsir dapat dilihat
pada gambar dibawah ini:
DP
2. Tentukan daerah himpunan
penyelesaian dari pertidaksamaan x £ 2
Jawab:
a. Gambar
pertidaksamaan: 
® 
®  |
b.
Ambil sembarang titik, misal (3,1), substitusikan titik (3,1) ke
dalam pertidaksamaan
(3,1) ⇔ x ≤ 2
⇔ 3 ≤ 2
(pernyataan salah)
c.
Karena pernyataan salah maka daerah yang tidak
memuat titik (3,1) adalah himpunan penyelesaiannya.
Jadi daerah penyelesaian pertidaksamaan adalah daerah yang terarsir dapat dilihat
pada gambar dibawah ini:
adalah daerah yang terarsir dapat dilihat
pada gambar dibawah ini: | |||
 | |||
Aktifitas Kelas
1.
Tentukan daerah
himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
2x + y ≥ 4 untuk x,y ε R.
Jawab:
Himpunan penyelesaian
pertidaksamaan 2x + y ≥ 4 dapat mengikuti langkah berikut:
a.
Gambarlah grafik lurus 2x + y = 4
Untuk menggambar tentukan titik
potong garis dengan sumbu y maka x = 0 dan titik potong garis dengan sumbu x maka y =
0.
 |
2x + y = 4 2x + y = 4
Titik potong sumbu y Titik potong sumbu x maka x = 0 maka y = 0
2x + y = 4 2x + y = 4
2(0) + y = 4 2x + .... = 4
y = ..... x = ....
Diperoleh titik (...,....) Diperoleh titik (...,....)
·
Cara
diatas dapat disingkat dengan:
|
2x + y = 4
|
||
|
x
|
0
|
....
|
|
y
|
.....
|
0
|
|
(x, y)
|
(0, ....)
|
(...., 0)
|
b. Menggambar grafik
Ambil sembarang titik yang tidak
dilalui oleh garis
2x + y ≥ 4, misal (....,.....)
Substitusikan titik (....,.....)
kedalam petidaksamaan
2x + y ≥ 4.
(...,....) ⇔ 2x + y ≥ 4
⇔ 2(....) + (....) ≥ 4
⇔ ..... ≥ 18 (pernyataan ....................)
Jadi daerah penyelesaian
pertidaksamaan 2x + y ≥ 4 dapat di lihat pada gambar dibawah ini:
 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Kerjakan soal berikut ini
1.
Tentukan daerah
himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 
2.
Tentukan daerah
himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
3.
Tentukan daerah
himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 
4.
Tentukan daerah
himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 
5.
Tentukan daerah
himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 
D.
Menentukan
model matematika
Pengertian Model
Matematika
Hal terpenting dalam
masalah program linier adalah mengubah persoalan verbal ke dalam bentuk model
matematika (persamaan atau pertidaksamaan) yang merupakan penyajian dari bahasa
sehari-hari ke dalam bahasa matematika yang lebih sederhana dan mudah
dimengerti. Jadi model matematika adalah suatu cara sederhana untuk memandang
suatu masalah dengan menggunakan persamaan-persamaan atau
petidaksamaan-pertidaksamaan matematika.
Model Matematika dari suatu Program
Linear terdiri atas dua bagian:
a.
Sistem persamaan atau pertidaksamaan
yang merupakan bagian kendala-kendala yang harus dipenuhi oleh peubah x dan y
b.
Fungsi Obyektif (sasaran) yang merupakan bagian
yang hendak dioptimalkan (maksimum/minimum)
Contoh:
1. Harga
sebuah tas A adalah Rp 25.000,00
sedangkan sebuah tas B adalah Rp 50.000,00. Modal yang tersedia Rp 1.500.000,00. Kapasitas toko tersebut 80 buah. Tentukan model matematika untuk memperoleh
keuntungan yang sebesar-besarnya, jika laba untuk tas A adalah Rp 5.000,00 dan
laba tas B adalah Rp 10.000,00.
Jawab:
Misalakan : tas
A = x
tas
B = y
|
|
Tas A (x)
|
Tas B (y)
|
Jumlah
|
|
Harga
|
25.000
|
50.000
|
1.500.000
|
|
Jml. Satuan Barang
|
1
|
1
|
80
|
|
Laba
|
5.000
|
10.000
|
Foby
|
Model Matematika:
· Kendala:
25.000 x + 50.000 y £
1.500.000 Û
x + 2y £ 60 (biaya tidak boleh melebihi modal)
x + y £ 80
(jumlah barang tidak boleh
melebihi kapasitas)
x ³ 0,
y ³ 0
(jumlah barang tidak boleh negatif)
· Fungsi Obyektif: maksimum : F(x,y) = 5.000 x + 10.000 y, x,y Î C
 |
Aktifitas Kelas
1. Seorang pedagang sepatu
mempunyai modal Rp 8.000.000,00. Ia merencanakan membeli dua jenis sepatu,
sepatu pria dan wanita. Harga beli separu pria adalah Rp 20.000,00 per pasang
dan harga beli sepatu wanita adalah Rp 16.000,00 per pasang. Mengingat
kapasitas kiosnya, ia hanya akan membeli sebanyak-banyaknya 450 pasang sepatu.
Buatlah model matematika yang sesuai dengan persoalan ini.
Jawab:
Misalakan : sepatu pria = x
Sepatu wanita = y
|
|
Sepatu pria (x)
|
Sepatu wanita (y)
|
Jumlah
|
|
Harga beli
|
.......
|
.......
|
.......
|
|
Banyak
|
.......
|
.......
|
.......
|
Model matematika:
Pertidaksamaan
1.
.......................................................................
Pertidaksamaan
2.
.......................................................................
Karena x,y menyatakan
sepatu pria dan wanita maka x,y adalah bilangan
bulat positif
Pertidaksamaan
3.
.......................................................................
Pertidaksamaan
4.
.......................................................................
Jadi model matemat:
..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
Fungsi objektif :
f(x,y) =
.......................................................................
Kerjakanlah soal berikut ini!
1.
Seorang penjahit mempunyai bahan 30 meter kain katun dan
20 meter kain satin. Ia akan membuat setelan jas dan rok untuk dijual. Satu
setel jas memerlukan 3 meter kain katun dan 1 meter kain satin, sedangkan untuk
rok memerlukan 1 meter kain katun dan 2 meter kain satin. Keuntungan dari 1
setel jas Rp 75.000,00 dan 1 setel Rp 50.000,00. Buatlah model matematikanya.
2.
Yani membeli kue jenis A
dengan harga Rp 1500,00 dan kue jenis B seharga Rp 2000,00. Modal yang dimiliki
Yani tidak lebih dari Rp
600.000,00. Yani dapat menjual kue jenis
A dengan harga Rp 1.800,00 dan kue B dengan harga Rp 2.200,00. Yani hanya dapat menjual kue
sebanyak 350 buah saja setiap hari, buatlah model matematikanya.
3.
Untuk membuat kedua macam kue kering tersebut tentunya
dibutuhkan bahan-bahan diantaranya : Untuk
membuat satu resep kue kering keju diperlukan 100 gram tepung terigu dan 50
gram mentega. Sedangkan satu resep kue kering coklat diperlukan 200 gram tepung
terigu dan 25 gram mentega. Tepung yang tersedia hanya 3,6 kg dan mentega yang
ada 1,2 kg. Keuntungan dari satu resep kue kering keju Rp 3.500,00 dan satu
resep kue kering coklat Rp 2.000,00, buatlah model matematikanya.
4. Sefri memiiki
sebuah lemari yang hanya cukup ditempati 100 boks benang. Benang jenis I dibeli
dengan harga Rp 20.000,00 tiap boks dan benang jenis II dibeli dengan harga Rp
25.000,00 tiap boks. Jika Sefri mempunyai modal Rp 400.000,00 untuk membeli x
boks benang jenis I dan y boks benang jenis II. Buatlah model matematiknya dan
tunjukkan daerah yang memenuhi himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
tersebut.
5. Seseorang memproduksi
kecap dengan dua macam kualitas yang setiap harinya menghasilkan tidak lebih
dari 50 botol. Harga bahan – bahan kecap per botol untuk kualitas pertama Rp
4.000,00 dan kualitas kedua Rp 3.000,00. Ia tidak berbelanja lebih dari Rp
200.000,00 setiap harinya. Buatlah model matematiknya dan tunjukkan
daerah yang memenuhi himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut.
E.
Menentukan
nilai optimum dari sistem pertidaksamaan linier
Titik optimum biasanya terletak disekitar titik
potong garis dengan garis, titik potong garis dengan sumbu x, maupun titik potong garis dengan sumbu y, yang berada didaerah penyelesaian. Untuk menentukan titik
optimum (nilai maximum atau minimum) dari suatu bentuk daerah penyelesaian
tertentu, cukup menyelidiki titik-titik yang berada disekitar titik potong
garis didaerah penyelasaian.
Langkah-langkah
yang dapat dlakukan adalah sebagai berikut:
1.
Ubahlah
persoalan verbal ke dalam model matematika (dalam bentuk sistem pertidaksamaan
linier)
2.
Buatlah grafik dari sistem petidaksamaan
linier.
3.
Tentukan himpunan penyelesaian ( daerah
penyelesaian.)
4.
Tentukan semua titik-titik pojok pada daerah
penyelesaian tersebut untuk mencari nilai maksimum/minimum (optimum) dengan
metode uji titik pojok atau metode garis selidik.
Metode
Uji Titik Pojok
Untuk
memahami dalam menentukan nilai optimim dari fungsi objektif dengan menggunakan
metode uji titik pojok, perhatikan contoh berikut:
1.
Tentukan nilai maksimum Z = 10x + 15y dengan syarat: x + y 
25, 2x + y
40, 
dan 
25, 2x + y
40, dan
Jawab:
x + y 25
25
|
x
|
0
|
25
|
|
y
|
25
|
0
|
|
(x, y)
|
(0,25)
|
(25,0)
|
2x + y 40
40
|
x
|
0
|
20
|
|
y
|
40
|
0
|
 (x, y) |
(0,40)
|
(20,0)
|
Titik potongnya adalah
x + y =
25
2x + y = 40
–
x = – 15
x = – 15
x = 15
dari persamaan x + y = 25 maka y = 10
Jadi
titik potongnya adalah (15, 10)
Uji titik
|
Titik
|
Z = 10x
+ 15y
|
|
A (0,0)
|
10.0 + 15.0 = 0
|
|
B (20, 0)
|
10.20 + 15. 0 = 200
|
|
C (15, 10)
|
10.15 + 15.10 = 300
|
|
D (0, 25)
|
10.0 + 15.25 = 375
|
Jadi titik optimumnya adalah ( 0,25) dengan nilai
maksimum 375
Kerjakan soal berikut ini!
1.
Diketahui model matematika: 2x – 5y ≤10 ; x +
y ≥ 5; x + y ≤ 12; -5x + 2y ≤ 10. Tentukan nilai maksimum fungsi obyektif P =
3x + 4y.
2.
Tentukan nilai minimum dari fungsi obyektif P
= 5x + 7y, yang memenuhi sistem pertidaksamaan linier: x + 2y ≥ 8, 3x + 2y ≥
12, x ≥ 0 ,y ≥ 0
3.
Suatu
permasalahan setelah diubah menjadi model matematika diperoleh sebagai berikut
: 
. Jika fungsi
tujuan permasalahan tersebut adalah 
, maka tentukan
nilai maksimumnya
. Jika fungsi
tujuan permasalahan tersebut adalah , maka tentukan
nilai maksimumnya
4.
Seorang pengusaha mainan akan membeli beberapa mobil dan
boneka tidak lebih dari 25 buah. Harga
sebuah mobil Rp 60.000,00 dan sebuah boneka Rp 80.000,00. Modal yang dimiliki
Rp 1.680.000,00. Jika laba penjualan satu buah mobil Rp 20.000,00 dan 1 buah
boneka Rp 25.000,00 . tentukan laba maksimumnya
5. Seorang pengusaha
mainan anak akan membeli beberapa boneka Goofy dan Pluto, tidak lebih dari 25
buah. Harga sebuah boneka Goofy Rp.60.000 dan sebuah boneka Pluto Rp. 80.000.
Modal yang dimiliki Rp.1.680.000. jika laba penjualan satu buah boneka goofy
Rp.20.000 dan 1 buah boneka Pluto Rp.25.000, maka laba maksimumnya adalah…
Mohon
Tugas di kerjakan pada lembar folio di kumpulkan maksimal tgl. 3 September
2016.
Tugas
bisa dititipkan pada teman atau d krim lewat apapun email atau foto melalui wa.
No.hp
: 081328606001
Terimakasih
atas kerjasamanya
assalamu'alaikum, maaf bu itu gambar grafiknya kok nggak bisa dilihat/nggak ada gambarnya?
BalasHapusKomentar ini telah dihapus oleh pengarang.
BalasHapus